Valenza educativa della geometria...

Prima di tutto il carattere educativo della Geometria è connesso
alla sua stessa natura di scienza che rende razionale e oggettivo il porsi dell’individuo nello spazio fisico. Infatti, una descrizione geometrica della realtà implica la necessità di passare da un’osservazione centrata sul soggetto a una che tenga conto della pluralità di punti di vista e che, dunque, richiede anche forme espressive atte alla comunicazione intersoggettiva. Un’interpretazione soggettiva non è errata in sé, ma porta a considerare lo spazio anisotropo, cioè dotato di direzioni privilegiate, per cui la sua validità è strettamente condizionata alla presenza del soggetto che la formula. Nel linguaggio quotidiano, per esempio, usiamo frequentemente termini che rimandano all’assunzione di un solo punto di vista (come alto/basso, davanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra). Tali informazioni sono informative e significative nella misura in cui sono rivolte ad altri osservatori che si trovano nelle medesime condizioni del soggetto che le esprime.

• La Geometria è il contesto nel quale il ragionamento e i processi deduttivi possono essere praticati senza richiedere un simbolismo fortemente convenzionale.


• Rispetto all’Aritmetica e all’Algebra, nelle quali il linguaggio simbolico può inibire i processi deduttivi, in geometria può essere sufficiente anche il linguaggio naturale per avviare alla necessità del “rendere ragione” (“argomentare e congetturare”) delle proprie affermazioni.


• Molte attività geometriche, inoltre, sviluppano l’immaginazione e l’intuito, consentendo di educare la fantasia all’estrapolazione e all’astrazione.

curiosità... =)

STOMACHION!!!

Dato che l'esame di quest'anno si incentra sulla geometria ho pensato di presentare questo gioco chiamato Stomachion!!!! Per introdurre questo gioco in modo chiaro bisogna andare indietro nella storia e capire come, dove è nato e sopratutto da chi è stato pensato. =)

Il manoscritto di Costantinopoli, è un palinsesto contenente le opere di Archimede, noto come il Codice C, scoperto nel 1906 a Costantinopoli da Ludwig Heiberg. Una scoperta sensazionale che finì sulla prima pagina del New York Times. Sembra che sia stato realizzato a Gerusalemme nel 1229, dopo alcuni secoli comparve e riapparve soltanto nel 1998 a un'asta della Casa Christie's di New York dove venduto aggiudicato per 2 milioni di dollari. Questo preziosissimo manoscritto ha riportato l’attenzione su un antico gioco greco dal nome curioso: Stomachion. Nel manoscritto il grande scienziato siracusano dedica infatti alcune pagine alla presentazione del gioco, simile al più celebre Tangram, il “quadrato delle sette astuzie”. Non sappiamo se sia stato lo stesso Archimede a inventare questo puzzle oppure, com’è più probabile, se ne abbia soltanto studiato le proprietà geometriche.

Stomachion, è un termine che deriva dal greco stomachos (irritazione) e dal latino stomachari (irritarsi), che qualcuno traduce letteralmente il "Mal di Stomaco" e altri più liberamente"Il gioco che fa impazzire".

In figura sono riportati l'”Elefante di Ausonio” e un rombo, costruiti con i 14 pezzi dello Stomachion, un gioco che "giovava moltissimo - osserva un altro poeta latino, Cesio Basso - a rafforzare la nostra memoria, quando eravamo fanciulli".

Con questi pezzi, realizzati un tempo in avorio o altri materiali pregiati, e che il lettore potrà realizzare più semplicemente in legno o in cartoncino, si possono comporre, oltre all’elefante e al rombo, centinaia di oggetti, animali e figure, simili a quelli ottenuti con i 7 pezzi del Tangram. In figura è indicata la costruzione dello Stomachion. Si parte da un foglio a quadretti sul quale si segna un quadrato di 12 x 12 quadretti. Si divide poi il quadrato nel modo indicato e si ottengono i 14 pezzi del puzzle: 11 triangoli, 2 quadrilateri e un pentagono.Possiamo calcolare l’area di questi poligoni applicando un teorema poco noto, ma che può essere molto utile in pratica, per calcolare l'area di poligoni irregolari. E' il teorema di Pick, che afferma: “L’area di una figura geometrica i cui vertici siano punti di un reticolo è uguale alla somma del numero dei punti interni e della metà dei punti toccati dal contorno della figura, meno un’unità”.

Se indichiamo con I i punti interni e con T i punti del contorno, abbiamo la formula:
Area = I + 1/2 T - 1

I punti interni al poligono sono 24, quelli sul contorno 11 e quindi, per il teorema di Pick, la sua area è 24 + 11/2 - 1 = 28,5 quadretti. (fig 1)

I punti interni al poligono sono 23, quelli sul contorno 16 e quindi, per il teorema di Pick, la sua area è 23 + 16/2 - 1 = 30 quadretti. (fig soprastante).

Questo teorema venne scoperto da George Alexander Pick, un matematico austriaco, amico di Einstein, morto nel 1943 in un campo di concentramento.In figura riportiamo, come esempio, il calcolo dell’area di due poligoni, con il teorema di Pick, “la cui dimostrazione - osserva il matematico polacco Hugo Steinhaus - non è ovvia”, ma che non richiede, per essere applicato, particolari competenze matematiche e che ha diverse applicazioni pratiche. Ad esempio, per calcolare l’area di una piantagione, con gli alberi piantati a distanze regolari, sarà sufficiente applicare la formula che abbiamo appena visto, sostituendo gli alberi ai punti.E’ facile verificare con il teorema di Pick che lo Stomachion ha 2 pezzi di area 3 quadretti, 4 pezzi di area 6, un pezzo di area 9, 5 pezzi di area 12, un pezzo di area 21 e un pezzo di area 24 quadretti.Lasciamo al lettore il piacere di scoprire nuove forme e proponiamo un ultimo problema: comporre con i 14 pezzi tre figure geometriche le cui aree siano uguali allo stesso numero intero.

Questa figura rappresenta le aree dei diversi pezzi dello Stomachion, calcolate con il teorema di Pick.

Ora vi presento altre figure costruite con lo stimachion:

Nel Novembre del 2003, Bill Cutler trovò che esistono 536 modi possibili di sistemare i 14 pezzi in un quadrato. Le soluzioni, riportate qui sotto, sono identiche se equivalenti per rotazione o riflessione.